Question

8．将村庄甲、乙、丙看成三点，正好构成△ABC，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=3$\sqrt{7}$，若$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CA}$=$\frac{5}{2}$，且甲到丙的距离与乙到丙的距离之和为9，则甲乙之间的距离为6．

Answer 1

分析 可根据条件画出图形，由tanC的值可求cosC=$\frac{1}{8}$，而由$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}=\frac{5}{2}$即可得到ab=20①，由条件知a+b=9②，从而①②联立即可求出a，b，从而在△ABC中，根据余弦定理即可求出c，也就求出了甲乙之间的距离．

解答 解：如图，
由tanC=$3\sqrt{7}$得，cosC=$\frac{1}{8}$；
∴$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}=|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|cosC$=$\frac{1}{8}ab$=$\frac{5}{2}$；
∴ab=20；
又a+b=9；
∴$由\left\{\begin{array}{l}{ab=20}\\{a+b=9}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=4}\end{array}\right.$；
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=$25+16-40×\frac{1}{8}=36$；
∴c=6；
即甲乙之间的距离为6．
故答案为：6．

点评 考查切化弦公式，向量数量积的计算公式，消元法解二元二次方程组，以及余弦定理．