【题目】如图,在直角坐标中,设椭圆:的左右两个焦点分别为,,过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交,其中一个交点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知,经过点且斜率为,直线与椭圆有两个不同的和交点,请问是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)椭圆C的方程为;(2)不存在常数,使得向量与共线,理由见解析。
【解析】
试题分析:
(1)由题意结合椭圆的定义有:,在中应用勾股定理可得,结合可得,则椭圆的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意;
当直线斜率存在时:设直线的方程为,与椭圆方程联立可得,由判别式大于零可得.设,由韦达定理可得 ,,而,则原问题等价于.联立方程可得.而,故不存在常数,使得向量与共线.
试题解析:
(1)由椭圆定义可知.
由题意,.
又由△可知,,,
又,得.
椭圆的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意;
直线斜率存在时,设直线的方程为,
代入椭圆方程,得.
整理,得①
因为直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,
解得.
设,则=,
由①得②
又③
因为,所以.
所以与共线等价于.
将②③代入上式,解得.
因为
所以不存在常数,使得向量与共线.
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【题目】已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知关于x的一次函数.
(Ⅰ)设集合和,分别从集合和中随机取一个数作为m和n,求函数是增函数的概率;
(Ⅱ)实数m,n满足条件求函数的图象经过一、二、三象限的概率.
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【题目】对于实数a和b,定义运算“*”:a*b= 设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1 , x2 , x3 , 则x1x2x3的取值范围是 .
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【题目】如图,椭圆E: 的左焦点为F1 , 右焦点为F2 , 离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在四面体A-BCD中,AD平面BCD,BCCD,CD=2,AD=4.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(I)证明:PQ//平面BCD;
(II)若异面直线PQ与CD所成的角为,二面角C-BM-D的大小为,求cos的值。
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