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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)的长轴为AB,以AB为底边作椭圆的内接等腰梯形ABCD,求此等腰梯形面积的最大值.
分析:先设C(acosφ,bsinφ)进而可得四边形ABCD 的面积的表达式整理得4absin
φ
2
cos3
φ
2
,进而根据sin
φ
2
cos3
φ
2
的范围求得答案.
解答:解:设C(acosφ,bsinφ),则四边形ABCD 的面积=absinφ+abcosφsinφ
=absinφ(1+cosφ)=4absin
φ
2
cos3
φ
2

因为sin2
φ
2
×cos6
φ
2

=
1
3
×3sin2
φ
2
×cos2
φ
2
×cos2
φ
2
×cos2
φ
2

1
3
×(
3
4
4=
27
256

所以sin
φ
2
cos
φ
2
3
3
16

所以则四边形ABCD的面积的最大值为:
3
3
4
ab
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质.本题利用了椭圆的参数方程通过三角函数的性质来解决问题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率为e=
1
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程,
(Ⅱ)若P是椭圆上的任意一点,求
PF1
PA
的取值范围
(III)直线l:y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的顶点),AH⊥MN垂足为H且
AH
2
=
MH
HN
,求证:直线l恒过定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0)是长轴的一个四等分点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点,记直线AD、BC的斜率分别为k1,k2
(1)当点D到两焦点的距离之和为4,直线l⊥x轴时,求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率是
3
2
,且经过点M(2,1),直线y=
1
2
x+m(m<0)
与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)当m=-1时,求△MAB的面积;
(3)求△MAB的内心的横坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•威海二模)已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为e=
6
3
,过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设点M(0,2),直线l:y=1,过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点,若N为AB的中点,D为N在直线l上的射影,AB的中垂线与y轴交于点P.求证:
ND
MP
AB
2
为定值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根,求椭圆方程.

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