Question

4．四位同学在研究函数f（x）=$\frac{1{+x}^{2}}{1{-x}^{2}}$的性质时，分别给出下面四个结论：
①f（x）为偶函数；
②f（2）+f（3）+f（4）…+f（10）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{10}$）=0；
③f（x）在区间（1，+∞）单调递增
④f（x）的值域为（-∞，0）∪[1，+∞）
你认为上述四个结论中正确的有①②③．（填写正确结论的序号）

Answer 1

分析 先求f（x）的定义域为{x|x≠±1}，从而可看出f（x）为偶函数，并且可求出f（x）+$f（\frac{1}{x}）=0$，从而看出①②正确．可分离常数得到$f（x）=-1+\frac{2}{1-{x}^{2}}$，这样可看出x＞1时，随x增大，f（x）增大，从而得到f（x）在（1，+∞）上为增函数，从而得出结论③正确，而由x²的范围，可得出1-x²的范围，从而得出$\frac{1}{1-{x}^{2}}$的范围，进而得出f（x）的范围，即得出f（x）的值域，从而可判断④是否正确，这样即可写出结论正确的序号．

解答 解：①f（x）的定义域为{x|x≠±1}；
f（-x）=f（x）；
∴f（x）为偶函数，即该结论正确；
②$f（\frac{1}{x}）=\frac{1+\frac{1}{{x}^{2}}}{1-\frac{1}{{x}^{2}}}=\frac{1+{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$；
∴$f（x）+f（\frac{1}{x}）=0$；
∴$f（2）+f（3）+f（4）+…+f（10）+f（\frac{1}{2}）$$+f（\frac{1}{3}）$$+f（\frac{1}{4}）+…+f（\frac{1}{10}）$=$[f（2）+f（\frac{1}{2}）]+[f（3）+f（\frac{1}{3}）]$$+[f（4）+f（\frac{1}{4}）]+…+[f（10）+f（\frac{1}{10}）]=0$；
∴该结论正确；
③$f（x）=\frac{-（1-{x}^{2}）+2}{1-{x}^{2}}=-1+\frac{2}{1-{x}^{2}}$；
∴x＞1时，x增大1-x²减小，$\frac{2}{1-{x}^{2}}$增大，f（x）增大，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增；
∴该结论正确；
④x²≥0；
∴0＜1-x²≤1，或1-x²＜0；
∴$\frac{1}{1-{x}^{2}}≥1$，或$\frac{1}{1-{x}^{2}}＜0$；
∴f（x）≥1，或f（x）＜-1；
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪[1，+∞）；
∴该结论错误；
∴结论正确的为①②③．
故答案为：①②③．

点评 考查函数奇偶性的定义及判断方法，已知f（x）求f[g（x）]的方法，分离常数法的运用，增函数的定义，以及根据不等式的性质求函数值域．