Question

已知关于x的方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的两根为x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂，则

2a+3b

3a

的取值范围是（　　）

• A．(-

  4

  3

  ，0)
• B．(-2，-

  2

  3

  )
• C．（0，+∞）
• D．(-

  2

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：由方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，结合对应二次函数性质得到

f(0)＞0 f(1)＜0

，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析

b

a

的几何意义，然后数形结合即可得到结论，从而可求

2a+3b

3a

的取值范围．

解答：解：由程x²+（2+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，
故函数f（x）=x²+（2+a）x+1+a+b图象开口方向朝上
又∵方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，
则

f(0)＞0 f(1)＜0

即

1+a+b＞0 1+2+a+1+a+b＜0

即

1+a+b＞0 4+2a+b＜0

其对应的平面区域如下图阴影示：

∵

b

a

表示阴影区域上一点与原点边线的斜率
由图可知

b

a

∈(-2，-

2

3

)
∵

2a+3b

3a

=

2

3

+

b

a

∴

2a+3b

3a

∈(-

4

3

，0)
故选A．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x²+（2+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x₁＜1＜x₂，结合二次函数性质得到

f(0)＞0 f(1)＜0

是解答本题的关键．