Question

正三棱锥P-ABC中，AB=AC=10，BC=12，各侧面与底面所成的二面角都是45°，则棱柱的高为

3

．

Answer 1

分析：取BC中点M，连接AM，由AB=AC=10，知AM垂直于BC，AM=8，所以S△ABC=

1

2

× BC×AM=48，设VP垂直于面ABC于P，由各侧面与底面成的二面角都是45°，知P为△ABC内心，设半径为R，由△ABC的面积求出R=3，由此能求出棱柱的高．

解答：解：取BC中点M，连接AM，
∵AB=AC=10，
∴AM垂直于BC，AM=8，
S△ABC=

1

2

× BC×AM=48，
设VP垂直于面ABC于P，
∵各侧面与底面成的二面角都是45°，
即P为△ABC内心，设半径为R，
则S△ABC=

1

2

×(BC+AB+AC)R=16R=48，
R=3，
∴VP=R•tan45°=3．
故答案为：3．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形面积公式的合理运用．