Question

等比数列{a_n}单调递增，且满足：a₁+a₆=33，a₃a₄=32．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：b₁=1且n≥2时，a2，abn，a2n-2成等比数列，T_n为{b_n}前n项和，cn=

Tn+1

Tn

+

Tn

Tn+1

，证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用a₁+a₆=33，a₃a₄=32，可求首项与公比，从而求数列{a_n}的通项公式；
（2）由于a2，abn，a2n-2成等比数列故可化简得b_n=n，从而有Tn=

n(n+1)

2

，所以cn=

n+2

n

+

n

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)，故可得证．

解答：解：（1）由题意，数列{a_n}单增，所以，

a1+a6=33 a1a6=a3a4=32

?

a1=1 a6=32

∴q=2，∴a_n=2^n-1；
（2）由题，abn2=a2a2n-2?(2bn-1)2=2•22n-3?2(bn-1)=2n-2?bn=n
∴Tn=

n(n+1)

2

∴cn=

n+2

n

+

n

n+2

=1+

2

n

+1-

2

n+2

=2+2(

1

n

-

1

n+2

)
当n≥2时，c1+c2++cn=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)0＜1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3
当n=1时，2＜c1=3+

1

3

＜5
所以对任意的n∈N^*，2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+3．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式、裂项求和，综合性强