Question

9．已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，直线l：y=kx+a（a＞0）与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）设抛物线C在A和B点的切线交于点P，试求点P的坐标；
（Ⅱ）若直线l过焦点F，且与圆x²+（y-1）²=1相交于D，E（其中A，D在y轴同侧），求证：|AD|•|BE|是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出抛物线C：x²=4y的焦点F（0，1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立x²=4y与y=kx+a有x²-4kx-4a=0，则△=16（k²+a）＞0，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4a，求出导函数$y'=\frac{1}{2}x$利用切线方程，结合韦达定理，化简求解即可．
（Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．求出圆x²+（y-1）²=1圆心为F（0，1），半径为1，由抛物线的定义有|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，吐槽|AD|=|AF|-1=y₁，|BE|=|BF|-1=y₂，利用|AD|•|BE|=y₁y₂，转化求解|AD|•|BE|为定值．

解答 解：抛物线C：x²=4y的焦点F（0，1），…（1分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立x²=4y与y=kx+a有x²-4kx-4a=0，
则△=16（k²+a）＞0，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4a．…（2分）
（Ⅰ）由x²=4y有$y=\frac{1}{4}{x^2}$，则$y'=\frac{1}{2}x$，…（3分）
则抛物线C在$A（{{x_1}，\frac{1}{4}x_1^2}）$处的切线为$y-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_1}（{x-{x_1}}）$，
即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2$…①…（4分）
同理抛物线C在$B（{{x_2}，\frac{1}{4}x_2^2}）$处的切线为$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$…②…（5分）
联立①②解得$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，代入①式解得$y=\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}=-a$，
即P（2k，-a）．…（6分）
（Ⅱ）若直线l过焦点F，则a=1，则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
由条件可知圆x²+（y-1）²=1圆心为F（0，1），半径为1，…（7分）
由抛物线的定义有|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，…（8分）
则|AD|=|AF|-1=y₁，|BE|=|BF|-1=y₂，…10分，
|AD|•|BE|=y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）
=${k^2}{x_1}{x_2}+k（{{x_1}+{x_2}}）+1=-4{k^2}+4{k^2}+1=1$，
（或$|{AD}|•|{BE}|={y_1}{y_2}=\frac{x_1^2}{4}•\frac{x_1^2}{4}=\frac{{{{（{{x_1}{x_2}}）}^2}}}{16}=\frac{{{{（{-4}）}^2}}}{16}=1$）
即|AD|•|BE|为定值，定值为1．…（12分）

点评 本题考查导数的应用，抛物线与直线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．