Question

如图，在△ABC中，已知B=

π

3

，AC=4

3

，D为BC边上一点，若AB=AD，则△ADC的周长的最大值

 

．

Answer 1

考点：正弦定理的应用

专题：计算题,解三角形

分析：由B=

π

3

，AB=AD，得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为

2π

3

，进而得到∠DAC+∠C=

π

3

，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值，即可得到周长的最大值．

解答： 解：∵AB=AD，B=

π

3

，∴△ABD为正三角形，
∵∠DAC=

π

3

-C，∠ADC=

2π

3

，
在△ADC中，根据正弦定理，可得：

AD

sinC

=

4 3

sin 2π 3

=

DC

sin( π 3 -C)

，
∴AD=8sinC，DC=8sin（

π

3

-C），
∴△ADC的周长为AD+DC+AC=8sinC+8sin（

π

3

-C）+4

3

=8（

1

2

sinC+

3

2

cosC）+4

3

=8sin（C+

π

3

）+4

3

，
∵∠ADC=

2π

3

，∴0＜C＜

π

3

，
∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，
∴当C+

π

3

=

π

2

，即C=

π

6

时，sin（C+

π

3

）的最大值为1，
则△ADC的周长最大值为8+4

3

．
故答案为：8+4

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．