Question

(本小题满分15分)已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M.问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点? 并求两点间距离的最大值.

 

Answer 1

【答案】

(1)∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)，

 

 

∴椭圆C的方程为+=1.

(2)易求得F(1，0)。设M(x₀，y₀)，则+=1，      

圆M的方程为(x-x₀)²+(y-y₀)²=(1-x₀)²+y₀²，

令x=0，化简得y²-2y₀y+2x₀-1=0，⊿=4y₀²-4(2x₀-1)²＞0……①.

将y₀²=3(1-)代入①，得3x₀²+8x₀-16＜0，解出 -4＜x₀＜.

(3)设D(0，y₁)，E(0，y₂)，其中y₁＜y₂.由(2)，得

DE= y₂- y₁===，

当x₀=-时，DE的最大值为.

【解析】略