Question

已知函数f（x）=3ax-2x²+lnx，a为常数．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间
（2）先求函数的导函数f′（x），将函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数问题转化为则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立问题，进而将不等式参变分离，转化为求函数最值问题即可

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=3x-2x²+lnx，则f（x）的定义域是（0，+∞）
∵f′(x)=3-4x+

1

x

=

-4x2+3x+1

x

=

-(4x+1)(x-1)

x

．
∴由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（2）∵f′(x)=3a-4x+

1

x

．
若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
则f′（x）≥0，或f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立．
∴3a-4x+

1

x

≥0，或3a-4x+

1

x

≤0在区间[1，2]上恒成立．
即3a≥4x-

1

x

，或3a≤4x-

1

x

在区间[1，2]上恒成立．
设h（x）=4x-

1

x

，
∵h′（x）=4+

1

x2

＞0
∴h（x）=4x-

1

x

在区间[1，2]上是增函数．
h（x）_max=h（2）=

15

2

，h（x）_min=h（1）=3
∴只需3a≥

15

2

，或3a≤3．
∴a≥

5

2

，或a≤1．

点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间的方法，已知函数的单调区间求参数范围的方法，体现了导数在函数单调性中的重要应用；不等式恒成立问题的解法，转化化归的思想方法