Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹形状是

直线AB

．

Answer 1

分析：给出C（x，y），结合

OC

=α

OA

+β

OB

建立用α、β表示x、y的式子，由α+β=1化简得x+2y-5=0，恰好为点A、B所在直线方程，可得本题答案．

解答：解：设C（x，y），由题意，得
∵

OC

=α

OA

+β

OB

，
∴（x，y）=α（3，1）+β （-1，3）=（3α-β，α+3β）
可得

x=3α-β y=α+3β

，解得

α= 3x+y 10 β= 3y-x 10

∵α+β=1，
∴

3x+y

10

+

3y-x

10

=1，化简x+2y-5=0，恰好为点A、B所在直线方程
由此可得：点C的轨迹是直线AB
故答案为：直线AB

点评：本题给出点C与A、B，在满足

OC

=α

OA

+β

OB

且α+β=1的情况下求点C的轨迹形状，着重考查了向量的坐标运算、直线的方程与轨迹求法等知识，属于基础题．