分析 (1)求出前几项,由数学归纳法证明,注意证明n=k+1时,运用假设,同时运用分析法,即可得证;
(2)由题意可得an=$\sqrt{{a}_{n+1}+2n-1}$>$\sqrt{2n-1}$,写出几个式子,再由放缩法,即可得证.
解答 证明:(1)a1=2,an+1=an2-2n+1,
可得a2=a12-2+1=4-2+1=3,
a3=a22-4+1=9-4+1=6,
当n=3时,a3=6,2n-1=5,即有不等式成立;
假设n=k时,ak>2k-1(k≥3),
当n=k+1时,ak+1=ak2-2k+1>(2k-1)2-(2k-1)
=4k2-6k+2,
由4k2-6k+2-(2k+1)=4k2-8k+1,当k≥3时,
即有4k2-8k+1≥4×9-8×3+1>0,
则n=k+1时,ak+1>2(k+1)-1成立.
综上可得,an>2n-1(n≥3);
(2)an+1=an2-2n+1,
可得an=$\sqrt{{a}_{n+1}+2n-1}$>$\sqrt{2n-1}$,
2=a1=$\sqrt{{a}_{2}+1}$,a2=$\sqrt{{a}_{3}+3}$,a3=$\sqrt{{a}_{4}+5}$,
…,
即有2=$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+{a}_{4}}}}$=…=$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+{a}_{n+1}}}}}$,
由于an+1>$\sqrt{2(n+1)-1}$=$\sqrt{2n+1}$,
即有$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+{a}_{n+1}}}}}$>$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+\sqrt{2n+1}}}}}$,
则$\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5+…+\sqrt{2n-1+\sqrt{2n+1}}}}}$<2成立.
点评 本题考查不等式的证明,注意运用数学归纳法和放缩法证明,考查推理能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -12 | B. | -3 | C. | 3 | D. | 12 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 3$+2\sqrt{2}$ | B. | $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
卖家意向价(元) | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 2.4 |
意向股数 | 200 | 400 | 500 | 100 |
买家意向价(元) | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 2.4 |
意向股数 | 600 | 300 | 300 | 100 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4-$\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{7}$ | C. | $\sqrt{11}$ | D. | 7 |
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