Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²-x+lnx（a∈R，a≠0）
（Ⅰ）当a=2时，求在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若y=f（x）在区间（2，3）内有且只有一个极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞），函数f（x）的图象恒在直线y=ax的下方，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率和切点坐标，再由点斜式方程，即可得到切线方程；
（Ⅱ）设h（x）=ax²-x+1，由题意得，

△=1-4a＞0 h(2)h(3)＜0 a≠0

，解出即可；
（Ⅲ）令g（x）=

1

2

ax²-x+lnx-ax（x＞0），由于x∈[1，+∞），函数f（x）的图象恒在直线y=ax的下方，
即x≥1，g（x）_max＜0，对a讨论，①当a＜0时，②当0＜a≤1时，③当a＞1时，运用单调性，即可得到g（x）的最大值，进而得到a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=

1

2

ax²-x+lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=ax-1+

1

x

，由于a=2，则f（1）=0，f′（1）=2，
则曲线在点（1，f（1））处的切线方程为：y=2x-2即2x-y-2=0；
（Ⅱ）设h（x）=ax²-x+1，
由题意得，

△=1-4a＞0 h(2)h(3)＜0 a≠0

即为

a＜ 1 4 (4a-1)(9a-2)＜0 a≠0

，
或h（2）=0且另一根在（2，3）或，h（3）=0，另一根在（2，3），
解得

2

9

＜a＜

1

4

或a无解，
即有

2

9

＜a＜

1

4

；
（Ⅲ）令g（x）=

1

2

ax²-x+lnx-ax（x＞0），
由于x∈[1，+∞），函数f（x）的图象恒在直线y=ax的下方，
即x≥1，g（x）_max＜0，
g′（x）=ax-1+

1

x

-a=

(ax-1)(x-1)

x

，令g′（x）=0，则x₁=1，x₂=

1

a

，
①当a＜0时，x₂=

1

a

＜0＜x₁=1，则g（x）在x≥1单调递减，g（x）_max＜0=g（1）
=

a

2

-1-a＜0，解得-2＜a＜0；
②当0＜a≤1时，x₂≥x₁=1，则g（x）在（

1

a

，+∞）单调递增，
则g（x）∈（g（x₂），+∞），不满足g（x）_max＜0；
③当a＞1时，x₂＜x₁=1，则g（x）在x＞1单调递增，
则g（x）∈（g（1），+∞），不满足g（x）_max＜0．
综上所述，a的取值范围为-2＜a＜0．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题，注意转化为求函数最值，属于中档题．