Question

已知a，b为不相等实数，设定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），命题：“?x₁，x₂∈（a，b），λ＞0，且x₁＜x₂，都有f(

x1+λx2

1+λ

)＞

f(x1)+λf(x2)

1+λ

”为真，那么下列4个结论中正确的个数是（　　）
①f（x）在区间（a，b）内必有极大值；
②f（x）在区间（a，b）内单调增；
③必定存在唯一的x₀∈（a，b），使得f′（x₀）=

f(a)-f(b)

a-b

；
④导函数f′（x）在区间（a，b）上单调递减．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据题意判定函数是凸函数，画出函数的图象后，利用数形结合逐一判定四个结论的真假，即可得到答案．

解答：解：∵?x₁，x₂∈（a，b），λ＞0，
∴P₁（x₁y₁），P₂（x₂，y₂） 的定比分点P（

x1+λx2

1+λ

，

f(x1)+λf(x2)

1+λ

）
∵f（

x1+λx2

1+λ

）＞

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，
∴函数为凸函数，故③正确；

故f′（x）在区间（a，b）上递减，故④正确；
但f（x）在区间（a，b）内的单调性无法判断，
故①②错误
故选：B

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的凸凹性和单调性，其中分析出函数的凸凹性是解答的关键．