设函数对任意,都有,当时,
(1)求证:是奇函数;
(2)试问:在时 ,是否有最大值?如果有,求出最大值,如果没有,说明理由.
(3)解关于x的不等式
(1)详见解析;(2)函数最大值为;(3)①,则解为;②,则解为;③,则无解.
解析试题分析:(1)要证明为奇函数,需要证明.如何利用所给条件变出这样一个等式来?
为了产生,令,则.这时的等于0吗?如何求?再设可得,从而问题得证.
(2)一个连续函数在闭区间上必最大值的最小值.为了求函数的最值,就需要研究函数的单调性.研究单调性,第一,根据定义,第二利用导数.抽象函数研究单调性只能用定义.任取,则,根据条件可得:即
所以为减函数,那么函数在上的最大值为.
(3)有关抽象函数的不等式,都是利用单调性去掉.首先要将不等式化为,注意必须是左右各一项.在本题中,由题设可得,在R上为减函数
,即.下面就解这个不等式.这个不等式中含有参数,故需要分情况讨论.
试题解析:(1)设可得,设,则
所以为奇函数.
(2)任取,则,又
所以
所以为减函数。
那么函数最大值为,,
所以函数最大值为.
(3)由题设可知
即
可化为
即,在R上为减函数
,即,
①,则解为
②,则解为
③,则无解
考点:1、抽象函数;2、函数的性质;3、解不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数过点.
(1)求实数;
(2)将函数的图像向下平移1个单位,再向右平移个单位后得到函数图像,设函数关于轴对称的函数为,试求的解析式;
(3)对于定义在上的函数,若在其定义域内,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元到1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金(单位:万元)随投资收益(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求,并分析函数是否符合这个要求,并说明原因;
(2)若该公司采用函数作为奖励函数模型,试确定最小的正整数的值.
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