Question

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：其中真命题是

 

．
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
②f（x）的最小正周期是2π；
③在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称．

Answer 1

分析：化简函数f（x）=cosxsinx为：f（x）=

1

2

sin2x，利用奇函数判断①的正误；函数的周期判断②的正误；利用单调性判断③，对称性判断④的正误即可．

解答：解：函数f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x，
因为它是奇函数，又是周期函数，所以①不正确；
函数的周期是π，所以②不正确；
③在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数；正确；
④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称．当x=

3π

4

时f（x）取得最小值，是对称轴，所以正确．
故答案为：③④

点评：本题是基础题，考查三角函数式的化简，基本函数的性质，掌握基本函数的性质是本题解答的根据，强化基本知识的学习，才能提高数学知识的应用．