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9.已知函数$f(x)=\frac{1}{3}{x^3}+ax+b(a,b∈R)$在x=2处取得极小值$-\frac{4}{3}$.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若$f(x)\;≤{m^2}+m+\frac{22}{3}$在[-4,3]上恒成立,求实数m的取值范围.

分析 (1)求f′(x),根据f(x)在x=2处取得极小值得到关于a,b的方程组,这样即可求出a,b;
(2)只要使$\frac{1}{3}$x3-4x+4的最大值小于等于m2+m+$\frac{22}{3}$,所以求出这个最大值即可求得m的取值.

解答 解:(1)f′(x)=x2+a,由已知条件得:$\left\{\begin{array}{l}{4+a=0}\\{\frac{8}{3}+2a+b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$,解得a=-4,b=4;
令f′(x)=x2-4>0,得x<-2,或x>2;
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞);
(2)要使$\frac{1}{3}$x3-4x+4≤m2+m+$\frac{22}{3}$在[-4,3]上恒成立,
只要使fmax(x)≤m2+m+$\frac{22}{3}$;
由(1)知f(x)在(-2,2)上是减函数,在[-4,-2]及[2,3]上是增函数,
且f(-2)=$\frac{28}{3}$,f(3)=1,
∴f(x)在[-4,3]上的最大值是$\frac{28}{3}$;
∴m2+m+$\frac{22}{3}$≥$\frac{28}{3}$,解得m≤-2,或m≥1.

点评 考查极值的概念,根据导数求函数极值,进而求最值的方法及解一元二次不等式.

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