Question

在平面直角坐标系中，若点A、B同时满足
（1）点A、B都在函数y=f（x）的图象上；
（2）点A、B关于原点对称．则称点对（A，B）是函数y=f（x）的一个“姐妹点对”（规定点对（A，B）与点对（B，A）是同一个“姐妹点对”）．若函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一个“姐妹点对”，则a的取值范围为

a＞1

．

Answer 1

分析：构建函数y=a^x（a＞0，且a≠1）和函数y=x+a，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）关于原点对称的函数为y=-a^-x，函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一个“姐妹点对”，可转化为函数y=x+a与y=-a^-x只有一个交点，由此可得结论．

解答：解：构建函数y=a^x（a＞0，且a≠1）和函数y=x+a，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）关于原点对称的函数为y=-a^-x
∵函数f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一个“姐妹点对”，
∴函数y=x+a与y=a^-x只有一个交点
∵a＞1时，y=a^-x单调减，与函数y=x+a图象只有一个交点；
0＜a＜1时，y=a^-x单调减，与函数y=x+a图象没有交点；
此时有a＞1；
故答案为a＞1．

点评：本题考查新定义，考查函数的对称性，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．