Question

在平面直角坐标系中，动点到两点、的距离之和等于4．设点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与交于、两点，若，求的值．

Answer 1

（1）；（2）．

解析试题分析：（1）根据点到两点、的距离之和等于4，由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点，长半轴为2的椭圆，由此可求曲线的方程；
（2）设，，利用，可得，把代入椭圆方程，消去可得，根据韦达定理，即可求实数的值．
试题解析：（1）设,由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦距，长半轴为的椭圆．它的短半轴 ,故曲线C的方程为．
（2）设，，其坐标满足，
消去并整理得，    (*)
故．
若，即，即，化简得，所以满足(*)中，故即为所求．
考点：轨迹方程；平面向量数量积的运算．