Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=4，∠ACB=90°，D是AB中点．
（1）求证AC₁∥平面CDB₁；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的大小（用反三角表示）

Answer 1

分析：解法一：（1）要证B₁C₁∥平面EFG，只要在平面EFG内找出一直线与B₁C₁平行，由E，F为△AB，AC中点，可得GE∥BC．而B₁C₁∥BC，可得B₁C₁∥GE，从而可证
（2）由（1）知DO∥AC₁，∠COD就是异面直线AC₁与B₁C所成的角．利用余弦定理求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值；
解法二：利用空间向量法．如图建立坐标系，
（1）先求出平面CDB₁的一个法向量，证得向量点积为零即得垂直，又AC₁不在平面CDB₁内，从而得出AC₁∥平面CDB₁
（2）先求得

AC1

=(-3，0，4)，

B1C

=(0，-4，-4)，利用向量的夹角公式求得两向量的夹角即可．

解答：解一：（1）证明：
连BC₁交B₁C于E，连DE
∵矩形BCC₁B₁中，E为BC₁中点
又D为AB中点
∴DE

∥ .

.

1

2

AC1
∵AC₁在平面CDB₁外，DE?平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁
（2）∵AC₁∥DE
∴∠CED或其补角为异面直线
AC₁与B₁C所成角
又CD=

5

2

，DE=

5

2

，CE=2

2

∴cos∠CED=

CE2+DE2-CD2

2CE•PE

=

2

5

2

∴∠CED=arccos

2

5

2

．
解二：向量方法
（1）如图，建系
A（3，0，0）B（0，4，0）C（10，0，0）
A₁（3，0，4）B₁（0，4，4）C₁（10，0，4）D（

3

2

，2，0）

AC1

=(-3，0，4)
平面CDB₁的一个法向量

n

=(4，-3，3)，∵

AC1

•

n

=0，∴

AC1

⊥

n

又AC₁不在平面CDB₁内
∴AC₁∥平面CDB₁
（2）

AC1

=(-3，0，4)，

B1C

=(0，-4，-4)，cos?=

-16

5•4 2

=-

2

5

2

∴cosθ=

2

5

2

，θ=arccos

2

5

2

点评：本题考查直线与平面的平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．