Question

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且S₅＜S₆=S₇＞S₈，则下列结论一定正确的有

（1）（2）（5）

．
（1）d＜0
（2）a₇=0
（3）S₉＞S₅
（4）a₁＜0
（5）S₆和S₇均为S_n的最大值．

Answer 1

分析：等差数列{a_n}中，由S₅＜S₆=S₇＞S₈，可求得d＜0，a₇=0，a₈＜0，从而对①②③④⑤可作出正确判断．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₅＜S₆=S₇＞S₈，
∴S₆-S₅=a₆＞0，S₈-S₇=a₈＜0，
即a₆+2d＜0，
∴2d＜-a₆＜0，
∴d＜0，即（1）正确；
又S₆=S₇，
∴S₇-S₆=a₇=0，即（2）正确；
又S₉-S₅=a₆+a₇+a₈+a₉=2（a₇+a₈）=2（0+a₈）=2a₈＜0，
∴S₉＜S₅，故（3）错误；
由a₆=a₁+5d＞0，d＜0得：a₁＞-5d＞0，故（4）错误；
对于（5），∵等差数列{a_n}的公差为d＜0，首项a₁＞0，
∴S_n=

d

2

n²+（a₁-

d

2

）n为开口向下的抛物线（不连续，一群孤立的点），
又S₅＜S₆=S₇＞S₈，
∴S₆和S₇均为S_n的最大值，即（5）正确．
综上所述，结论一定正确的有（1）（2）（5）．
故答案为：（1）（2）（5）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查等差数列的性质，求得得d＜0，a₇=0是关键，属于中档题．