精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
6.已知一个平放的正四面体的各棱长均为4,其内有一轻质小球(不计重量),现从正四面体顶端向内注水,球慢慢上浮,当球与正四面体各侧面均相切(与水面也相切)时,若注入的水的体积是正四面体体积的$\frac{7}{8}$,则球的表面积等于.
A.$\frac{7}{6}$πB.$\frac{4}{3}$πC.$\frac{2}{3}$πD.$\frac{1}{2}$π

分析 先求出没有水的部分的体积是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,再求出棱长为2,可得小球的半径,即可求出球的表面积.

解答 解:由题意,没有水的部分的体积是正四面体体积的$\frac{1}{8}$,
∵正四面体的各棱长均为4,
∴正四面体体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$,
∴没有水的部分的体积是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
设其棱长为a,则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴a=2,
设小球的半径为r,则4×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$r=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{6}$,
∴球的表面积S=4$π•\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}π$.
故选:C

点评 本题考查球的表面积,考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,正确求出半径是关键.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

16.若点P(2,4)在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上,下列在椭圆上的点有:(1),(3),(4)
(1)P(-2,4);
(2)P(-4,2);
(3)P(-2,-4);
(4)P(2,-4)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

17.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
(1)求k的取值范围:
(2)若x1x2+y1y2=12,求|MN|.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

14.使奇函数f(x)=sin(2x+α)在[-$\frac{π}{4}$,0]上为减函数的α的值可以是(  )
A.0B.$\frac{π}{2}$C.πD.$\frac{3}{2}$π

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

1.一个无穷等比数列{an}中an>0,且若a2+a3+a4+…+a${\;}_{{n}_{\;}}$+…≤$\frac{{a}_{1}}{2}$,求公比q的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

11.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a1=30,8S6=9S3,设Tn=a1a2a3…an,则使Tn取得最大值的n为(  )
A.3B.4C.5D.6

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

2.曲线 ρ=8sinθ和 ρ=-8cosθ?(ρ>0)的交点的极坐标是(4$\sqrt{2}$,$\frac{3π}{4}$).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

19.如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M、分别是BD和AE的中点,
①AD⊥MN;      ②MN∥面CDE;
③MN∥CE;      ④MN、CE异面.
其中正确结论的个数是(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则截面的面积是2$\sqrt{6}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案