【题目】已知函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)令,讨论的单调性.
(3)当时,恒成立,求实数的取值范围.( 为自然对数的底数, …).
【答案】(1)(2)详见解析(3)
【解析】
(1)当时,先对函数求导,求得斜率,结合切点坐标,利用点斜式得到切线方程.(2)求出的表达式,对求得,然后将分成四类,讨论函数的单调区间.(3)将表达式代入原不等式并化简,构造函数设利用导数求得函数的最小值,令这个最小值大于零,求得的取值范围.
解:(1),,,
所以曲线在点处的切线方程为.
(2),定义域为,
,
①当时,当时,,在单调递增;当时,,在单调递减;
②当时,当或时,,在,上单调递增;当时,,在单调递减;
③当时,在单调递增;
④当时,当或时,,在,上单调递增;当时,,在单调递减.
综上,当时,在单调递增,在单调递减;当时,在,上单调递增,在单调递减;当时,在单调递增;当时,在,上单调递增,在单调递减.
(3)当时,,即恒成立,
设,,
显然在上单调递增,且,所以当时,;当时,.即在上单调递减,在上单调递增. ,所以,
所以的取值范围为.
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【题目】已知梯形中,,,是的中点.,、分别是、上的动点,且,设(),沿将梯形翻折,使平面平面,如图.
(1)当时,求证:;
(2)若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角的余弦值.
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【题目】某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率利润保费收入)的频率分布直方图如图所示:
(1)试估计这款保险产品的收益率的平均值;
(2)设每份保单的保费在20元的基础上每增加元,对应的销量为(万份).从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据:
元 | 25 | 30 | 38 | 45 | 52 |
销量为(万份) | 7.5 | 7.1 | 6.0 | 5.6 | 4.8 |
由上表,知与有较强的线性相关关系,且据此计算出的回归方程为.
(ⅰ)求参数的值;
(ⅱ)若把回归方程当作与的线性关系,用(1)中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率,试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润,并求出最大利润.注:保险产品的保费收入每份保单的保费销量.
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【题目】某县位于沙漠地带,人与自然长期进行顽强的斗争,到1998年底全县的绿化率已达到30%。从1999年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的4%又被沙化。
(1)设全县面积为1,1998年底绿化总面积为,经过n年后绿化总面积为,求证:。
(2)至少需要多少年的努力,才能使全县的绿化率超过60%?(年取整数,lg2=0.3010)
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【题目】今年消毒液和口罩成了抢手年货,老百姓几乎人人都需要,但对于这种口罩,大多数人不是很了解.现随机抽取40人进行调查,其中45岁以下的有20人,在接受调查的40人中,对于这种口罩了解的占,其中45岁以上(含45岁)的人数占.
(1)将答题卡上的列联表补充完整;
(2)判断是否有的把握认为对这种口罩的了解与否与年龄有关.
参考公式:,其中.
参考数据:
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【题目】设椭圆C: 的一个顶点与抛物线: 的焦点重合,分别是椭圆的左、右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得 ,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由;
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【题目】在直角坐标系中,已知以点为圆心的及其上一点.
(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;
(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程.
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【题目】在意大利,有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛(Alberobello),这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo,于1996年被收入世界文化遗产名录(如图1).现测量一个屋顶,得到圆锥SO的底面直径AB长为12m,母线SA长为18m(如图2).C,D是母线SA的两个三等分点(点D靠近点A),E是母线SB的中点.
(1)从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带,求灯光带的最小长度;
(2)现对屋顶进行加固,在底面直径AB上某一点P,向点D和点E分别引直线型钢管PD和PE.试确定点P的位置,使得钢管总长度最小.
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【题目】在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为长方形,SB⊥底面ABCD,其中BS=2,BA=2,BC=λ,λ的可能取值为:①;②;③;④;⑤λ=3
(1)求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值;
(2)若线段CD上能找到点E,满足AE⊥SE,则λ可能的取值有几种情况?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,当λ为所有可能情况的最大值时,线段CD上满足AE⊥SE的点有两个,分别记为E1,E2,求二面角E1-SB-E2的大小.
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