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(2011•南汇区二模)已知动直线y=kx交圆(x-2)2+y2=4于坐标原点O和点A,交直线x=4于点B,若动点M满足
OM
=
AB
,动点M的轨迹C的方程为F(x,y)=0.
(1)试用k表示点A、点B的坐标;
(2)求动点M的轨迹方程F(x,y)=0;
(3)以下给出曲线C的五个方面的性质,请你选择其中的三个方面进行研究,并说明理由(若你研究的方面多于三个,我们将只对试卷解答中的前三项予以评分).
①对称性;(2分)
②顶点坐标(定义:曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点);(2分)
③图形范围;(2分)
④渐近线;(3分)
⑤对方程F(x,y)=0,当y≥0时,函数y=f(x)的单调性.(3分)
分析:(1)将直线的方程代入圆的方程,得到点A、直线和直线的方程联立得出点B的坐标从而解决问题.
(2)利用向量的坐标关系式得出点M的参数方程为
x=
4k2
1+k2
y=
4k3
1+k2
(k为参数),消去参数k,得动点M的轨迹方程F(x,y)=0;
(3)①关于对称性;将方程中的(x,y)换成(x,-y),方程的形式不变,则曲线C关于x轴对称.
②关于顶点坐标,曲线C的顶点为(0,0);在方程x3+xy2-4y2=0中,令y=0,得x=0.则曲线C的顶点坐标为(0,0).
③关于图象范围:0≤x<4,y∈R;y2=
x3
4-x
≥0
,得0≤x<4,y∈R.
④关于渐近线,直线x=4是曲线C的渐近线;0≤x<4,y2=
x3
4-x
,当x→4时,y→∞.则直线x=4是曲线C的渐近线.
⑤关于单调性:当y≥0时函数y=f(x)在[0,4)上单调递增.
解答:解:(1)
(x-2)2+y2=4
y=kx
,得
x=0
y=0
x=
4
1+k2
y=
4k
1+k2

即点A(
4
1+k2
,  
4k
1+k2
)
.
x=4
y=kx
,得
x=4
y=4k
,即点B(4,4k).…4分
(2)
OM
=
AB
=(
4k2
1+k2
4k3
1+k2
)
,则点M的参数方程为
x=
4k2
1+k2
y=
4k3
1+k2
(k为参数),
消去参数k,得x3+xy2-4y2=0.…8分
(3)①关于x轴对称;
将方程中的(x,y)换成(x,-y),方程的形式不变,则曲线C关于x轴对称.
②曲线C的顶点为(0,0);
在方程x3+xy2-4y2=0中,令y=0,得x=0.则曲线C的顶点坐标为(0,0).
③图象范围:0≤x<4,y∈R;y2=
x3
4-x
≥0
,得0≤x<4,y∈R.
④直线x=4是曲线C的渐近线;0≤x<4,y2=
x3
4-x
,当x→4时,y→∞.则直线x=4是曲线C的渐近线.
⑤当y≥0时函数y=f(x)在[0,4)上单调递增;y2=
x3
4-x
(0≤x<4)
.设0≤x1<x2<4,则
y
2
1
-
y
2
2
=
x
3
1
4-x1
-
x
3
2
4-x2
=
x
3
1
(4-x2)-
x
3
2
(4-x1)
(4-x1)(4-x2)
=
(x1-x2)[
x
2
1
(4-x2)+
x
2
2
(4-x1)+4x1x2]
(4-x1)(4-x2)
<0

则y12<y22,即y1<y2,所以当y≥0时函数y=f(x)在[0,4)上单调递增.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系、考查了曲线的几何性质,解题时要认真审题,仔细解答.
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a
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b
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a
b
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3
-
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