Question

5．抛物线x²=2y离点A（0，a）（a＞0）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（　　）

• A． a＞0
• B． a≥1
• C． 0＜a≤$\frac{1}{2}$
• D． 0＜a≤1

Answer 1

分析 将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值．

解答 解：设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，
则点P离点A（0，a）的距离的平方为
AP²=x²+（y-a）²=x²+y²-2ay+a²，
∵x²=2y，
∴AP²=2y+y²-2ay+a²
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0）
∴对称轴为y=a-1，
∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，
∴a-1≤0，解得0＜a≤1．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，故函数在定义域内递增，对称轴在区间左边．