【题目】已知,.
当时,求的值;
当时,是否存在正整数n,r,使得、、,依次构成等差数列?并说明理由;
当时,求的值用m表示.
【答案】(1);(2)不存在;(3).
【解析】
在的二项式定理中,先令得所有项系数和,再令得常数项,然后相减即得.
将变成后,利用二项展开式的通项公式可得,再假设存在正整数n,r满足题意,利用等差数列的性质得,化简整理,解方程即可判断存在性;
求得,2,3的代数式的值,即可得到所求结论.
解:,
,
当时,令和,可得:
,,
故;
当时,假设存在正整数n,r,使得、、,依次构成等差数列,
由二项式定理可知,,若、、成等差数列,则,
即,即,
化简得,
即为,
若、、成等差数列,同理可得,
即有,
即为,
化为,
可得,方程无解,
则不存在正整数n,r,使得、、,依次构成等差数列;
,
当时,;
当时,;
当时,;
可得时,.
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC与BD交于O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2CD=2 ,E,F分别是AB,AP的中点.
(1)求证:AC⊥EF;
(2)求二面角F﹣OE﹣A的余弦值.
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【题目】在正四棱锥V﹣ABCD中(底面是正方形,侧棱均相等),AB=2,VA= ,且该四棱锥可绕着AB任意旋转,旋转过程中CD∥平面α,则正四棱锥V﹣ABCD在平面α内的正投影的面积的取值范围是( )
A.[2,4]
B.(2,4]
C.[ ,4]
D.[2,2 ]
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【题目】以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程是ρ=2,矩形ABCD内接于曲线C1 , A,B两点的极坐标分别为(2, )和(2, ),将曲线C1上所有点的横坐标不变,纵坐标缩短为原来的一半,得到曲线C2 .
(1)写出C,D的直角坐标及曲线C2的参数方程;
(2)设M为C2上任意一点,求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范围.
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【题目】设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当x>0时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
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【题目】某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温 (℃)与该小卖部的这种饮料销量(杯),得到如下数据:
日期 | 1月11日 | 1月12日 | 1月13日 | 1月14日 | 1月15日 |
平均气温(℃) | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
销量(杯) | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据所给五组数据,求出关于的线性回归方程;
(2)据(1)中所得的线性回归方程,若天气预报1月16日的白天平均气温7(℃),请预测该奶茶店这种饮料的销量.
(参考公式:,)
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【题目】如图,已知椭圆的离心率是,一个顶点是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,是椭圆上异于点的任意两点,且.试问:直线是否恒过一定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由.
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