Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，当x＞2时，g（x）=a（x-2）-（x-2）³（a为常数）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）对区间[1，+∞）上的每个x值，恒有f（x）≥-2a成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），从而可求出函数f（x）的解析式，最后根据奇偶性求出函数在R上的解析式；
（2）由题意x∈[1，+∞）时，[f（x）]_min≥-2af'（x）=-a+3x²，下面对a进行分类讨论：①当a≤0时，②当a＞0时，再分：

a 3

＜1，和

a 3

≥1两种情况分别求出a的范围，最后综合即可得出a的取值范围．

解答：解：（1）1°当x＜0时，2-x＞2，
设P（x，y）（x＜0）为y=f（x）上的任一点，
则它关于直线x=1的对称点为P₁（x₁，y₁），
满足

x1=2-x y1=y

，
且P₁（x₁，y₁）适合y=g（x）的表达式
∴y₁=a（x₁-2）-（x₁-2）³即y=-ax+x³…（4分）
2°当x＞0时，-x＜0，∵f（x）为奇函数∴f（x）=-f（-x）=-[-a（-x）+（-x）³]=-ax+x³…（5分）
3°当x=0时，f（x）=0=-a×0+0³
综上  f（x）=-ax+x³，x∈R…（6分）
（2）由题意x∈[1，+∞）时，[f（x）]_min≥-2af'（x）=-a+3x²，
当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[1，+∞）是增函数∴f（1）=-a+1≥-2a得a≥-1，即-1≤a≤0…（8分）
当a＞0时，令f'（x）=0得x1=-

a 3

，x2=

a 3

若

a 3

＜1，即0＜a＜3时，则f'（x）在[1，+∞）大于零，f（x）在[1，+∞）是增函数，∴f（1）=-a+1≥-2a得0＜a＜3…（10分）
若

a 3

≥1，即a≥3时，则f（x）在[1，+∞）的最小值是f(

a 3

)=-a

a 3

+(

a 3

)3=-

2a

3

a 3

令f(

a 3

)≥-2a得3≤a≤27…（11分）
综上-1≤a≤27…（12分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性、对称性，利用导数研究函数的单调性，以及函数的解析式的求解和恒成立的证明，同时考查了分类讨论思想，属于中档题．