Question

（2006•黄浦区二模）已知抛物线pa：y=x2+ax+a-2（a为实常数）．
（1）求所有抛物线p_a的公共点坐标；
（2）当实数a取遍一切实数时，求抛物线p_a的焦点方程．
【理】（3）是否存在一条以y轴为对称轴，且过点（-1，-1）的开口向下的抛物线，使它与某个p_a只有一个公共点？若存在，求出所有这样的a；若不存在，说明理由．
【文】（3）是否存在直线y=kx+b（k，b为实常数），使它与所有的抛物线p_a都有公共点？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a取不同实数时，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2，整理可得（a-b）x=b-a，从而可求
（2）由y=x²+ax+a-2可得，y=(x+

a

2

)2-(

a2

4

+2-a)，从而可得抛物线的焦点为：（

a

2

，

9+a2-4a

4

）
（3）例如可设抛物线方程为x²=-2py（p＞0）
由抛物线过点（-1，-1）可得p=

1

2

，此时抛物线方程为x²=-y，联立方程

x2=-y y=x2+ax+a-2

整理可得2x²+ax+（a-2）=0课检验
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒过定点（-1，-1），则只要直线y=kx+b过定点（-1，-1）即可

解答：解：（1）当a取不同实数时，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2
可得x²+ax+a-2=x²+bx+b-2
∴（a-b）x=b-a，x=-1代入可得，y=-1
当a取不同实数时，所有抛物线p_a的公共点坐标（-1，-1）
（2）由y=x²+ax+a-2可得，y=(x+

a

2

)2-(

a2

4

+2-a)
∴抛物线的焦点为：（

a

2

，

9+a2-4a

4

）
（3）在满足条件的抛物线例如可设抛物线方程为x²=-2py（p＞0）
由抛物线过点（-1，-1）可得p=

1

2

，此时抛物线方程为x²=-y
联立方程

x2=-y y=x2+ax+a-2

整理可得2x²+ax+（a-2）=0
若a=4时，此时△=a²-8a+16=（a-4）²=0
即x²=-y与P₄：y=x²+4x+2只有一个公共点
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒过定点（-1，-1）
则只要直线y=kx+b过定点（-1，-1）即可
此时b=k-1，y=kx+k-1即y+1=k（x+1）满足条件
故存在这样的直线

点评：本题主要考查了由抛物线的方程求解抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系的考查，直线方程的应用，属于综合性试题