Question

已知定义在R上的奇函数f(x)=

4x+b

ax2+1

的导函数为f′（x），且f′（x），在点x=1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（m，m+2）上是增函数，求实数m所有取值的集合；
（3）当x₁，x₂∈R时，求f′（x₁）-f′（x₂）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的结论f（0）=0求出b的值，再由点x=1处取得极值得f′（1）=0，求出a的值；
（2）由（1）求出f′（x），再令f′（x）＞0，求出x的范围，得到增区间（-1，1），结合题意求出m的值；
（3）把f′（x）分离常数后，再利用换元法，即t=

1

x2+1

，求出t的范围，转化为关于t的二次函数，求出f′（x）的值域，让最大值减去最小值，即是所求的值．

解答：解：（1）∵f(x)=

4x+b

ax2+1

是奇函数，∴f（0）=0，求得b=0，
又∵f′(x)=

4(ax2+1)-4x•2ax

(ax2+1)2

，且f（x）在点x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，解得a=1，故f(x)=

4x

x2+1

．
（2）∵f′(x)=

-4(x-1)(x+1)

(x2+1)2

，由f′（x）＞0得，-1＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，1）．
若f（x）在区间（m，m+2）上是增函数，则有m=-1．
即m取值的集合为{-1}．
（3）∵f′(x)=

-4(x-1)(x+1)

(x2+1)2

=4[

2

(x2+1)2

-

1

x2+1

]，
令t=

1

x2+1

，则f′(x)=g(t)=4(2t2-t)=8(t-

1

4

)2-

1

2

，t∈(0，1]，
∴f′(x)∈[-

1

2

，4]，
∴f′(x1)-f′(x2)≤4-(-

1

2

)=

9

2

，
∴f′（x₁）-f′（x₂）的最大值为

9

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数单调性和极值问题，奇函数性质的应用，分离常数和换元法求最值，难度大，综合性强．