Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

x2-x-6≤0 |x+1|＞3

．
（1）若a=1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
（2）非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝对值不等式及对数不等式的解法．

解答：解：（1）∵命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，
∴由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，
∴即p为真命题时，实数x的取值范围：1＜x＜3．
又∵命题q：实数x满足

x2-x-6≤0 |x+1|＞3

．
由

x2-x-6≤0 |x+1|＞3

解得即

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

∴所以q为真时，实数x的取值范围：2＜x≤3．
∵若p且q为真，
∴p真q真，则

1＜x＜3 2＜x≤3

?2＜x＜3
∴实数x的取值范围是（2，3）
（2）∵不妨设A={x|x≤a，或x≥3a}，B={x|x≤2，或x＞3}
∵非p是非q的充分不必要条件，
∴A?B．
∴0＜a≤2且3a＞3，即1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．

点评：判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．