Question

（2011•潍坊二模）已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，g（x）=x²．
（I）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）的图象在其一公共点处存在公切线，证明：a=2e

a2

8

-1．

Answer 1

分析：（I）求函数的导数，若函数f（x）在其定义域上为增函数，则f'（x）≥0恒成立，然后求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用导数的几何意义求函数f（x）与g（x）的共切线，然后证明等式．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

．
要使函数f（x）在其定义域上为增函数，f'（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0，在（0，+∞）上恒成立．
即a≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立．
因为

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤

2

2

=1，当且仅当x=1时取等号，所以a≥1．
（Ⅱ）因为函数的导数为f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
g'（x）=2x，令

ax2-2x+a

x2

=2x，
即2x³-ax²+2x-a=0，所以x²（2x-a）+2x-a=0，即（x²+1）（2x-a）=0，
所以2x-a=0，x=

a

2

．
因为f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，
则f(

a

2

)=a(

a

2

-

2

a

)-2ln

a

2

=

1

2

a2-2ln

a

2

-2，
对于g（x）=x²．则g(

a

2

)=

a2

4

．
因为g(

a

2

)=f(

a

2

)，所以

1

2

a2-2ln

a

2

-2=

a2

4

，即a2-8ln

a

2

-8=0．
所以a2-8=8ln

a

2

，

a2-8

8

=ln

a

2

，
即

a2

8

-1=ln

a

2

，
解得

a

2

=e

a2

8

-1，
所以a=2e

a2

8

-1，成立．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，综合性较强运算量较大，考查学生的运算能力．