Question

对于n∈N^×，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴相交于A_n，B_n两点，以|A_nB_n|表示该两点间的距离，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+…+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉的值是（　　）

• A、

  2007

  2008

• B、

  2008

  2007

• C、

  2008

  2009

• D、

  2009

  2010

Answer 1

分析：根据函数抛物线方程令y=0求得x的关系式，代入两点间的距离公式可得到|A_nB_n|的关系式，然后代入到|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉|中即可得到答案．

解答：解：y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1=[x-

1

n

][x-

1

n+1

]
令y=0，则x=

1

n

或

1

n+1

∴|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

∴|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₉B₁₉₉₉|=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）
=（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）
=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故选D

点评：本题主要考查数列求和的累加法、变形的技巧，可以之训练答题者观察探究的能力与意识．