Question

已知曲线C：x²y+xy²=1，则曲线C关于对称的序号有（　　）
（1）x轴对称；（2）y轴对称；（3）原点对称；（4）直线y=x对称；（5）直线y=-x对称．

A．（3）（4）

B．（1）（5）

C．（4）

D．（2）（5）

Answer 1

分析：设（a，b）点在曲线上，则（a，b）点满足方程x²y+xy²=1，然后判定（a，-b），（-a，b），（-a，-b），（b，a），（-b，-a）是否在曲线C上，从而得到结论．

解答：解：若（a，b）点在曲线上则a²b+ab²=1
令x=a，y=-b，则-a²b+ab²=1，故点（a，-b）不在曲线C上，即不关于x轴对称；
令x=-a，y=b，则a²b-ab²=1，故点（-a，b）不在曲线C上，即不关于y轴对称；
令x=-a，y=-b，则-a²b-ab²=1，故点（-a，-b）不在曲线C上，即不关于原点对称；
令x=b，y=a，则ab²+a²b=1，故点（b，a）在曲线C上，即关于直线y=x对称；
令x=-b，y=-a，则-ab²-a²b=1，故点（-b，-a）不在曲线C上，即不关于直线y=-x对称．
故选C．

点评：本题主要考查的知识点是曲线的对称性，当（a，b）点在曲线上时，（-a，-b）点也在曲线上，则曲线关于原点对称；当（a，b）点在曲线上时，（-a，b）点也在曲线上，则曲线关于y轴对称；当（a，b）点在曲线上时，（a，-b）点也在曲线上，则曲线关于x轴对称；当（a，b）点在曲线上时，（b，a）点也在曲线上，则曲线关于直线x-y=0对称；当（a，b）点在曲线上时，（-b，-a）点也在曲线上，则曲线关于直线x-y=0对称，属于基础题．