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设l,m,n是空间三条直线,α,β是空间两个平面,给出下列命题:①当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件;②当m?α且n是l在α内的射影时,“m⊥n,”是“l⊥m”的充分不必要条件;③当m?α时,“m⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件;④当m?α,且n?α时,“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件;则其中不正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】分析:①由面面平行的定义与线面垂直的判断定理可得①是真命题.②由三垂线定理可得,“m⊥n,”是“l⊥m”的充要条件.③根据面面垂直的判断定理可得α⊥β;反之若α⊥β则m⊥β不一定成立.④当m?α,且n?α时,若n∥α则m∥n不一定成立也可能异面;反之由线面平行的判断定理可得n∥α.
解答:解:①当n⊥α时,并且n⊥β则由面面平行的定义可得α∥β;反之也成立.所以①是真命题.
②由三垂线定理可得,“m⊥n,”是“l⊥m”的充要条件.所以②是假命题.
③当m?α时,若m⊥β则根据面面垂直的判断定理可得α⊥β;反之若α⊥β则m⊥β不一定成立.所以③是真命题.
④当m?α,且n?α时,若n∥α则m∥n不一定成立也可能异面;反之若m∥n则由线面平行的判断定理可得n∥α.所以④是假命题.
故选B.
点评:本题考查空间中直线与平面之间的位置关系,主要考查了线面与面面垂直的判断定理以及三垂线定理.需要答题者有一定的空间想像能力及根据条件做出正确联想的能力.
练习册系列答案
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B. 当m Ìnl内的射影时,“mn,”是“lm”的充分不必要条件

  C. 当m Ì时,“m”是“”充分不必要条件

  D. 当mÌ,且nË时,“n”是“mn”的既不充分也不必要条件

 

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A.当n∥α时,“n∥β”是“α∥β”成立的充要条件
B.当m?α且n是l在α内的射影时,“m⊥n,”是“l⊥m”的必要不充分条件
C.当m?α时,“m⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件
D.当m?α,且n不在α内时,“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件

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