【题目】设抛物线:的焦点为,直线与交于,两点,的面积为.
(1)求的方程;
(2)若,是上的两个动点,,试问:是否存在定点,使得?若存在,求的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)见解析.
【解析】
(1)把代入抛物线方程可得:,解得.根据的面积为列方程,解得,问题得解.
(2)假设存在定点S,使得.设,线段的中点为.由,可得,化为:.当轴时满足题意,因此点S必然在x轴上.设直线的方程为:.与抛物线方程联立可得:.根据根与系数的关系、中点坐标公式可得.可得线段的垂直平分线方程,问题得解.
解:(1)把代入抛物线方程,可得:,解得.
∵的面积为.
∴,解得.
∴E的方程为:.
(2)假设存在定点S,使得.
设,线段的中点为.
由抛物线定义可得:,
∵,
∴,整理得:.∴.
当轴时满足题意,因此点S必然在x轴上.
设直线的方程为:.
联立,化为:.
∴,
∴.
线段的垂直平分线方程为:,
令,可得:.
∴存在定点,使得.
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【题目】已知椭圆的离心率为,抛物线的焦点是,是抛物线上的点,H为直线上任一点,A,B分别为椭圆C的上下顶点,且A,B,H三点的连线可以构成三角形.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)直线HA,HB与椭圆C的另一交点分别为点D,E,求证:直线DE过定点.
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【题目】是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物),为了探究车流量与的浓度是否相关,现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与浓度的数据如下表:
时间 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
车流量(万辆) | 50 | 51 | 54 | 57 | 58 |
的浓度(微克/立方米) | 39 | 40 | 42 | 44 | 45 |
(1)根据上表数据,求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标;
(2)用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)若周六同一时间段车流量是100万辆,试根据(2)求出的线性回归方程预测,此时的浓度是多少?
(参考公式:,)
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【题目】如图所示,椭圆离心率为,、是椭圆C的短轴端点,且到焦点的距离为,点M在椭圆C上运动,且点M不与、重合,点N满足.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求四边形面积的最大值.
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【题目】下列结论中错误的是( )
A.“﹣2<m<3”是方程表示椭圆”的必要不充分条件
B.命题p:,使得的否定
C.命题“若,则方程有实根”的逆否命题是真命题
D.命题“若,则且”的否命题是“若,则或”
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【题目】已知函数.
(1)若在上单调递减,求的取值范围;
(2)若在处取得极值,判断当时,存在几条切线与直线平行,请说明理由;
(3)若有两个极值点,求证:.
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【题目】如图,在单位正方体中,点P在线段上运动,给出以下四个命题:
异面直线与间的距离为定值;
三棱锥的体积为定值;
异面直线与直线所成的角为定值;
二面角的大小为定值.
其中真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】下列命题中,错误的是( )
A.圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
B.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
C.圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个
D.当球心到平面的距离小于球面半径时,球面与平面的交线总是一个圆
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