Question

若实数a，b，c，d满足︱b+a²-3lna︱+（c-d+2）²=0,则（a-c）²+（b-d）²的最小值为       .

Answer 1

8

解析∵实数a、b、c、d满足：（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，∴b+a²-3lna=0，c-d+2=0，设b=y，a=x，则y=3lnx-x²，设c=x，d=y，则y=x+2，

∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3lnx-x²求导：y'（x）=，与y=x+2平行的切线斜率k=1=，解得x=1或x=-（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．