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如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA。OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1
(Ⅰ)设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA;
(Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值。
(Ⅰ)在平面OAB内作ONOA交AB于N,连接CN,在△AOB中,且OA=OB,。在Rt△AON中,,


在△ONB中,.。又AB=3AQ,Q为AN的中点。在△CAN中,分别为AC,AN的中点,.由OAOC,OAON知:OA平面CON。又NC平面CON,OACN.由PQ//CN,知OAPQ.
(Ⅱ)连结PN,PO.
由OCOA,OCOB知:OC平面OAB。
又ON平面OAB, OCON.又由ONOA知:ON平面AOC. OP是NP在平面AOC内的射影。
在等腰Rt△COA中,P为AC的中点,ACOP。
根据三垂线定理,知:ACNP.
为二面角O-AC-B的平面角。
在等腰Rt△COA中,OC="OA=1," OP=
在Rt△AON中,ON=OA=
在Rt△PON中,PN==,
cos
解法二:
(Ⅰ)取O为坐标原点,以OA,OC所在的直线为x轴,z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图所示)。
则A(1,0,0),C(0,0,1),B

又由已知,可得
..
.故
(Ⅱ)记平面ABC的法向量,则由n,n,且=(1,0,-1)。
故可取
又平面OAC的法向量为e=(0,1,0)。

二面角O-AC-B的平面角是锐角,记为,则
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