Question

7．已知椭圆的一个顶点A（0，-1），焦点在x轴上，且右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆上任一点P到左焦点的距离的最小与最大值．

Answer 1

分析 （1）依题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，由题设得$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=3，则椭圆的方程可求；
（2）由左顶点到左焦点的距离最小，右顶点到左焦点的距离最大得答案．

解答 解：（1）依题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1$，
则右焦点F（$\sqrt{{a}^{2}-1}，0$），
由题设可得：$\frac{|\sqrt{{a}^{2}-1}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=3$，解得a²=3．
故所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）由$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得$a=\sqrt{3}$，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴由椭圆的性质可得：椭圆上任一点P到左焦点的距离的最小值为a-c=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
最大值为a+c=$\sqrt{3}+\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，熟记椭圆上的所有点中，左顶点到左焦点的距离最小，右顶点到左焦点的距离最大，是中档题．