Question

【题目】如图，已知四边形ABEF于ABCD分别为正方形和直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC= AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱ED的中点．

（1）求证：CM∥平面ABEF；
（2）求三棱锥D﹣ACF的体积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：几何法：连结AE，BF，交于点O，连结OM，

∵ABEF是正方形，∴O是AE中点，

∵M是DE中点，∴OM AC，

∵ABCD是直角梯形，AB=BC= AD=1，

∴BC AC，∴BC OM，

∴四边形BCMO是平行四边形，

∴BO∥CM，

∵BO平面ABEF，CM平面ABEF，

∴CM∥平面ABEF．

向量法：∵四边形ABEF于ABCD分别为正方形和直角梯形，

平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC= AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，点M是棱ED的中点．

∴以A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，

D（0，2，0），E（1，0，1），M（ ），C（0，1，1），

=（ ），

平面ABEF的法向量 =（0，1，0），

∵ =0，CM平面ABEF，∴CM∥平面ABEF．

（2）

解：（2）∵点F到平面ACD的距离AF=1，

S△ACD=S梯形ABCD﹣S△ABC= =1，

∴三棱锥D﹣ACF的体积：

VD﹣ACF=VF﹣ACD= = = ．

【解析】（1）几何法：连结AE，BF，交于点O，连结OM，推导出四边形BCMO是平行四边形，由此能证明CM∥平面ABEF．
向量法：以A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CM∥平面ABEF．（2）三棱锥D﹣ACF的体积VD﹣ACF=VF﹣ACD ， 由此能求出结果．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．