Question

【题目】已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA||PB|，并求λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设短轴一端点为C（0，b），左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0， 则c2+b2=a2；
由题意，△F1F2C为直角三角形，
∴ = + ，解得b=c= a，
∴椭圆E的方程为 + =1；
代入直线l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，
又直线l与椭圆E只有一个交点，则△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，
∴椭圆E的方程为 + =1；
由b2=3，解得x=2，则y=﹣x+3=1，所以点T的坐标为（2，1）
（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′= y，
则椭圆E变为圆E′：x′2+y′2=6，
设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′，
如图所示；

则 = = ，
= = ，
两式相比，得 ： = ，
由圆幂定理得，|P′T′|2=|P′A′||P′B′|，
所以 = ，即λ= ，原命题成立．
【解法二】设P（x0 ， 3﹣x0）在l上，由kOT= ，l′平行OT，
得l′的参数方程为 ，
代入椭圆E中，得 +2 =6，
整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0；
设两根为tA ， tB ， 则有tAtB= ；
而|PT|2= =2 ，
|PA|= =| tA|，
|PB|= =| tB|，
且|PT|2=λ|PA||PB|，
∴λ= = = ，
即存在满足题意的λ值．
【解析】（Ⅰ）根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形，结合直线l与椭圆E只有一个交点，利用判别式△=0，即可求出椭圆E的方程和点T的坐标；（Ⅱ）【解法一】作伸缩变换，令x′=x，y′= y，把椭圆E变为圆E′，利用圆幂定理求出λ的值，从而证明命题成立．【解法二】设出点P的坐标，根据l′∥OT写出l′的参数方程，代入椭圆E的方程中，整理得出方程， 再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA||PB|求出λ的值．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．