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【题目】已知椭圆E: + =1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(Ⅱ)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.

【答案】解:(Ⅰ)设短轴一端点为C(0,b),左右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c>0, 则c2+b2=a2
由题意,△F1F2C为直角三角形,
= + ,解得b=c= a,
∴椭圆E的方程为 + =1;
代入直线l:y=﹣x+3,可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0,
又直线l与椭圆E只有一个交点,则△=122﹣4×3(18﹣2b2)=0,解得b2=3,
∴椭圆E的方程为 + =1;
由b2=3,解得x=2,则y=﹣x+3=1,所以点T的坐标为(2,1)
(Ⅱ)【解法一】作伸缩变换,令x′=x,y′= y,
则椭圆E变为圆E′:x′2+y′2=6,
设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′,
如图所示;

= =
= =
两式相比,得 =
由圆幂定理得,|P′T′|2=|P′A′||P′B′|,
所以 = ,即λ= ,原命题成立.
【解法二】设P(x0 , 3﹣x0)在l上,由kOT= ,l′平行OT,
得l′的参数方程为
代入椭圆E中,得 +2 =6,
整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0;
设两根为tA , tB , 则有tAtB=
而|PT|2= =2
|PA|= =| tA|,
|PB|= =| tB|,
且|PT|2=λ|PA||PB|,
∴λ= = =
即存在满足题意的λ值.
【解析】(Ⅰ)根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形,结合直线l与椭圆E只有一个交点,利用判别式△=0,即可求出椭圆E的方程和点T的坐标;(Ⅱ)【解法一】作伸缩变换,令x′=x,y′= y,把椭圆E变为圆E′,利用圆幂定理求出λ的值,从而证明命题成立.【解法二】设出点P的坐标,根据l′∥OT写出l′的参数方程,代入椭圆E的方程中,整理得出方程, 再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|,由|PT|2=λ|PA||PB|求出λ的值.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:

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