【题目】已知椭圆E: + =1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(Ⅱ)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.
【答案】解:(Ⅰ)设短轴一端点为C(0,b),左右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c>0, 则c2+b2=a2;
由题意,△F1F2C为直角三角形,
∴ = + ,解得b=c= a,
∴椭圆E的方程为 + =1;
代入直线l:y=﹣x+3,可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0,
又直线l与椭圆E只有一个交点,则△=122﹣4×3(18﹣2b2)=0,解得b2=3,
∴椭圆E的方程为 + =1;
由b2=3,解得x=2,则y=﹣x+3=1,所以点T的坐标为(2,1)
(Ⅱ)【解法一】作伸缩变换,令x′=x,y′= y,
则椭圆E变为圆E′:x′2+y′2=6,
设此时P、A、B、T对应的点分别为P′、A′、B′、T′,
如图所示;
则 = = ,
= = ,
两式相比,得 : = ,
由圆幂定理得,|P′T′|2=|P′A′||P′B′|,
所以 = ,即λ= ,原命题成立.
【解法二】设P(x0 , 3﹣x0)在l上,由kOT= ,l′平行OT,
得l′的参数方程为 ,
代入椭圆E中,得 +2 =6,
整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0;
设两根为tA , tB , 则有tAtB= ;
而|PT|2= =2 ,
|PA|= =| tA|,
|PB|= =| tB|,
且|PT|2=λ|PA||PB|,
∴λ= = = ,
即存在满足题意的λ值.
【解析】(Ⅰ)根据椭圆的短轴端点C与左右焦点F1、F2构成等腰直角三角形,结合直线l与椭圆E只有一个交点,利用判别式△=0,即可求出椭圆E的方程和点T的坐标;(Ⅱ)【解法一】作伸缩变换,令x′=x,y′= y,把椭圆E变为圆E′,利用圆幂定理求出λ的值,从而证明命题成立.【解法二】设出点P的坐标,根据l′∥OT写出l′的参数方程,代入椭圆E的方程中,整理得出方程, 再根据参数的几何意义求出|PT|2、|PA|和|PB|,由|PT|2=λ|PA||PB|求出λ的值.
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本,需要知道椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:.
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【题目】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是线段BC、CD1的中点.
(1)求异面直线EF与AA1所成角的大小
(2)求直线EF与平面AA1B1B所成角的大小.
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【题目】设n≥2,n∈N* , 有序数组(a1 , a2 , …,an)经m次变换后得到数组(bm , 1 , bm , 2 , …,bm , n),其中b1 , i=ai+ai+1 , bm , i=bm﹣1 , i+bm﹣1 , i+1(i=1,2,…,n),an+1=a1 , bm﹣1 , n+1=bm﹣1 , 1(m≥2).例如:有序数组(1,2,3)经1次变换后得到数组(1+2,2+3,3+1),即(3,5,4);经第2次变换后得到数组(8,9,7).
(1)若ai=i(i=1,2,…,n),求b3 , 5的值;
(2)求证:bm , i= ai+jCmj , 其中i=1,2,…,n. (注:i+j=kn+t时,k∈N* , i=1,2,…,n,则ai+j=a1)
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【题目】已知函数 (m,n∈R)在x=1处取得极值2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)k为何值时,方程f(x)-k=0只有1个根
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意x1∈R,总存在x2∈[-1,0],使得g(x2)≤f(x1),求a的取值范围
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【题目】如图所示,该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.
(Ⅰ)证明:平面PAD⊥平面ABFE;
(Ⅱ)求正四棱锥P﹣ABCD的高h,使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 .
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【题目】设函数f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(Ⅰ)解不等式f(x)>0;
(Ⅱ)若x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.
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【题目】已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合,并且经过点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(II) 设椭圆C短轴的上顶点为P,直线不经过P点且与相交于、两点,若直线PA与直线PB的斜率的和为,判断直线是否过定点,若是,求出这个定点,否则说明理由.
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【题目】设定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),若f(3)=1,且3f(x)+xf′(x)>ln(x+1),则不等式(x﹣2017)3f(x﹣2017)﹣27>0的解集为( )
A.(2014,+∞)
B.(0,2014)
C.(0,2020)
D.(2020,+∞)
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣4|,g(x)=a|x|,a∈R.
(Ⅰ)当a=2时,解关于x的不等式f(x)>2g(x)+1;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)﹣4对任意x∈R恒成立,求a的取值范围.
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