Question

如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A（8，0）、B（0，6）两点，P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OA交OB于点Q．
（1）若△PBQ和四边形OQPA的面积满足S_四OQPA=3S_△PBQ时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（2）在x轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M与P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△PBQ和四边形OQPA的面积满足S_四OQPA=3S_△PBQ，可得S_△BOA=4S_△PBQ，进而根据S_△BOA∽S_△PBQ，可得到两个三角形的相似比，进而得到线段PQ的长；
（2）若△MPQ为等腰直角三角形，则O，P，M三点均有可能为直角顶点，分析讨论后，综合讨论结果，可得答案．
解答：解：（1）∵S_四OQPA=3S_△PBQ，
∴S_△BOA=4S_△PBQ，
又∵PQ∥OA
∴S_△BOA∽S_△PBQ，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，
可得S_△BOA与S_△PBQ的相似比为1：2
故=
即PQ=OA=4
（2）由（1）可知直线l的方程为3x+4y=24…（*）

①若△MPQ为等腰直角三角形，Q为直角顶点
则此时M点与原点重合，设Q点坐标为（0，a），则P点坐标为（a，a）
将P点坐标代入*得a=
即M，P的坐标分别为（0，0）（，）
②若△MPQ为等腰直角三角形，P为直角顶点
设Q点坐标为（0，a），则P点坐标为（a，a），M点坐标为（a，0）
将P点坐标代入*得a=
即M，P的坐标分别为（，0）（，）
③若△MPQ为等腰直角三角形，M为直角顶点
则|OM|=|OQ|=|PQ|
设Q（0，a），则M（a，0），点P坐标为（2a，a）
将P点坐标代入（*）式 得a=．
∴点M、P的坐标分别为（，0），（）
点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，直线方程与直线的交点，其中（2）中要注意O，P，M三点均有可能为直角顶点，要分类讨论．