Question

证明下列不等式：
（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R⁺，则

b+c

a

x2+

c+a

b

y2+

a+b

c

z²≥2（xy+yz+zx）
（2）若x，y，z∈R⁺，且x+y+z=xyz，则

y+z

x

+

z+x

y

+

x+y

z

≥2（

1

x

+

1

y

+

1

z

）

Answer 1

分析：（1）把不等式的左边减去右边，配方为3个完全平方的和的形式，大于或等于零，从而得到不等式的左边大于或等于右边
（2）根据条件，把要证的不等式等价转化为yz（y-z）²+xz（x-z）²+xy（x-y）²+x²（y-z）²+y²（x-z）²+z²（y-x）²≥0，而此式显然成立，从而不等式得证．

解答：证明：（1）若x，y，z∈R，a，b，c∈R⁺，
∵

b+c

a

x2+

c+a

b

y2+

a+b

c

z2-2（xy+yz+xz）=（

b

a

x2+

a

b

y2-2xy）+（

c

a

y2+

a

c

z2-2yz）+（

c

a

x2+

a

c

z2-2xz）
=( 

b a

x-

a b

 y)2+(

c b

y-

b c

z)2+(

c a

x-

a c

z)2≥0，
∴

b+c

a

x2+

c+a

b

y2+

a+b

c

z²≥2（xy+yz+zx）成立．
（2）若x，y，z∈R⁺，且x+y+z=xyz，要证的不等式等价于

yz(y+z)+xz(x+z)+xy(x+y)

xyz

≥2（

yz+xz+xy

xyz

），
等价于 yz（y+z）+xz（x+z）+xy（x+y）≥2（yz+xz+xy），
等价于xyz[yz（y+z）+xz（x+z）+xy（x+y）]≥2（yz+xz+xy）²，
等价于（x+y+z）（y²z+yz²+x²z+xz²+x²y+xy²）≥2（x²y²+z²y²+z²x²）+4（x²yz+y²xz+z²xy），
等价于y³z+yz³+x³z+xz³+x³y+xy³≥2x²yz+2y²xz+2z²xy，
等价于yz（y-z）²+xz（x-z）²+xy（x-y）²+x²（y-z）²+y²（x-z）²+z²（y-x）²≥0．
而上式显然成立，故原不等式成立．
∵上式显然成立，∴原不等式得证．

点评：本题主要考查用综合法证明不等式成立，式子的变形是解题的关键和难点，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．