Question

有甲、乙两种相互独立的预防措施可以降低某地区某灾情的发生．单独采用甲、乙预防措施后，灾情发生的概率分别为0.08和0.10，且各需要费用60万元和50万元．在不采取任何预防措施的情况下发生灾情的概率为0.3．如果灾情发生，将会造成800万元的损失．（设总费用=采取预防措施的费用+可能发生灾情损失费用）
（ I）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，他们各自总费用是多少？
（ II）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少的那个方案．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（ I）若单独采用甲预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为0×0.92+800×0.08=64万元，若单独采用乙预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为0×0.9+800×0.1=80万元，由此能求出结果．
（ II）若实施联合采用方案，设可能发生灾情的损失费用为X，则X=0和800，由此能求出选择联合预防措施的方案总费用最少．

解答： （本小题满分12分）
解：（ I）若单独采用甲预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为：
0×0.92+800×0.08=64（万元），（2分）
若单独采用乙预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为
0×0.9+800×0.1=80（万元）．（4分）
所以，单独采用甲预防措施的总费用为124万元，
单独采用乙预防措施的总费用为130万元．（6分）
（ II）若实施联合采用方案，设可能发生灾情的损失费用为X，则X=0和800，
且P（X=800）=0.08×0.1=0.008，
P（X=0）=1-P（X=800）=0.992．
所以，可能发生灾情的损失费用的期望值为6.4万元，因此总费用为116.4万元．（9分）
若不采取措施，则可能发生灾情的损失费用的期望值为
0×0.7+800×0.3=240万元．
可知此时的总费用为240万元．（11分）
综上，选择联合预防措施的方案总费用最少．（12分）

点评：本题考查概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，考查数据处理能力，是中档题．