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【题目】已知椭圆 的左右焦点分别是,直线与椭圆交于两点,当时, 恰为椭圆的上顶点,此时的面积为6.

(1)求椭圆的方程;

2)设椭圆的左顶点为,直线与直线分别相交于点,问当变化时,以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由.

【答案】(1);(2)弦长为定值6

【解析】试题分析:(1)根据时,直线的倾斜角为,又的周长为6,即可求得椭圆方程;(2)利用特殊位置猜想结论:当直线的方程为: 求得以为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6 ,猜测当变化时,以为直径的圆恒过焦点轴截得的弦长为定值6,再进行证明即可.

试题解析:(1)当时,直线的倾斜角为,所以:

解得 所以椭圆方程是:

2)当时,直线 ,此时,,又点坐标是,据此

可得,故以为直径的圆过右焦点,被轴截得的弦长为6.由此猜测当变化时,以为直径的圆恒过焦点,被轴截得的弦长为定值6. 

证明如下:设点点的坐标分别是,则直线的方程是:

,所以点的坐标是,同理,点的坐标是

由方程组 得到:

所以  从而:

=0

所以:以为直径的圆一定过右焦点,被轴截得的弦长为定值6

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(Ⅰ)确定 的值;

(Ⅱ)为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关,对这100名网购者调查显示:购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人,购物金额在2000元以下(含2000元)的网购者中网龄不足3年的有20人.

①请将列联表补充完整;

网龄3年以上

网龄不足3年

合计

购物金额在2000元以上

35

购物金额在2000元以下

20

合计

100

②并据此列联表判断,是否有%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关?

参考数据:

(参考公式: ,其中

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【题目】某品牌汽车4s店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计,统计结果如表所示:

付款方式

分1期

分2期

分3期

分4期

分5期

频数

40

20

a

10

b

已知分3期付款的频率为0.2,4s店经销一辆该品牌的汽车,顾客分1期付款,其利润为1万元,分2期或3期付款其利润为1.5万元,分4期或5期付款,其利润为2万元,用Y表示经销一辆汽车的利润.

1求上表中ab的值.

2若以频率作为概率,求事件A购买该品牌汽车的3位顾客中,至多有一位采用3期付款的概率PA

3Y的分布列及数学期望EY.

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【题目】在下列结论中: ①函数y=sin(kπ﹣x)(k∈Z)为奇函数;
②函数 的图象关于点 对称;
③函数 的图象的一条对称轴为 π;
④若tan(π﹣x)=2,则cos2x=
其中正确结论的序号为(把所有正确结论的序号都填上).

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(1)当时,求在区间上的最大值和最小值;

(2)若在区间上, 函数的图象恒在直线下方, 的取值范围;

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