Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知n≥2时，S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）．
（1）求S_n关于n的表达式；
（2）设的大小，并予以证明．

Answer 1

解：（1）当n≥2时，S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）．即（n²-1）S_n-n²S_n-1=n（n-1）．
于是．
∴是首项为1，公差为1的等差数列．从而．…（6分）
（2）．则，
．…（9分）
∴．
显然：当n=1，2时，有．
当n≥3时，由2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1+C_nⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ=2n+2＞2n+1
∴当n≥3时，有．…..（12分）
分析：（1）将S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1）移向构造得出．判断出是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式即为所求．
（2）由（1）可得出．利用错位相消法求出T_n，再去比较．
点评：本题考查等差数列的判定，数列通项公式求解，数列求和的错位相消法．考查构造、变形、计算、推理论证能力．