Question

已知函数f（x）=2x³-2x²+x+

1

2

．
（1）求证：f（x）在R上是增函数；
（2）设a₁=0，a_n+1=

1

2

f(an) （n∈N₊），b₁=

1

2

，b_n+1=

1

2

f(bn) （n∈N₊）．
①用数学归纳法证明：0＜a_n＜b_n＜

1

2

（n＞1，n∈N）；
②证明：b_n+1-a_n+1＜

bn-an

2

 （n∈N）．

Answer 1

分析：（1）通过函数的导数，判断导函数的正负，然后证明f（x）在R上是增函数；
（2）利用a₁=0，a_n+1=

1

2

f(an) （n∈N₊），b₁=

1

2

，b_n+1=

1

2

f(bn) （n∈N₊）．
①直接利用数学归纳法证明的步骤证明：0＜a_n＜b_n＜

1

2

（n＞1，n∈N）；
②利用放缩法证明：b_n+1-a_n+1＜

bn-an

2

 （n∈N）．

解答：证明：（1）f′(x)=6x2-4x+1=6(x-

1

3

)2+

1

3

＞0，
∴f（x）在R上是增函数．…（4分）
（2）①用数学归纳法证明.1⁰当n=2时，a2=

1

2

f(a1)=

1

2

f(0)=

1

4

，b2=

1

2

f(b1)=

1

2

f(

1

2

)=

3

8

，
∴0＜a2＜b2＜

1

2

，不等式成立．…（6分）
2⁰假设n=k（k＞1，k∈N）时不等式成立，即0＜ak＜bk＜

1

2

．
∵f（x）在R上是增函数，∴f(0)＜f(ak)＜f(bk)＜f(

1

2

)，
故

1

4

=

1

2

f(0)＜ak+1＜bk+1＜

1

2

f(

1

2

)=

3

8

，即0＜ak+1＜bk+1＜

1

2

，
∴n=k+1时不等式也成立．
由1⁰、2⁰得不等式0＜an＜bn＜

1

2

对一切n＞1，n∈N都成立．…（10分）
②由①知0＜an＜bn＜

1

2

，∴0＜a_n+b_n＜1．
∴

bn+1-an+1

bn-an

=

b 3 n - b 2 n + bn 2 -( a 3 n - a 2 n + an 2 )

bn-an

=

b 3 n - a 3 n -( b 2 n - a 2 n )+( bn 2 - an 2 )

bn-an

=(

b

2 n

+anbn+

a

2 n

)-(bn+an)+

1

2

                      …（13分）
＜(an+bn)2-(an+bn)+

1

2

=(an+bn)(an+bn-1)+

1

2

＜

1

2

．…（16分）

点评：本题考查好的导数判断函数的单调性，数学归纳法证明不等式的方法，放缩法证明不等式的方法，考查分析问题解决问题的能力．