Question

设a，b∈R且a≠2，函数在区间（-b，b）上是奇函数．
（Ⅰ）求ab的取值集合；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在 （-b，b）上的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据奇函数的定义，由f（-x）+f（x）=0结合对数的运算性质，可得a的值，根据函数的解析式，分析使式子有意义的x的范围，进而可得b的取值范围，进而得到ab的取值集合；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，分析出f（x₂）与f（x₁）的大小，进而根据函数单调性的定义，判断出函数f（x）在 （-b，b）上的单调性
解答：解：（I）函数在区间（-b，b）内是奇函数
∴对任意x∈（-b，b）都有f（-x）+f（x）=0，
∴+==0
即
即a²x²=4x²，此式对任意x∈（-b，b）都成立
∴a²=4
又∵a≠2，∴a=-2
代入，得＞0，即-＜x＜
此式对任意x∈（-b，b）都成立，相当于-＜-b＜b＜
所以b的取值范围是（0，]
∴ab的取值集合为[-1，0）
（II）设任意的x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈（0，]得
所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂
从而f（x₂）-f（x₁）=-=＜lg1=0
∴f（x₂）＜f（x₁）
因此f（x）在（-b，b）内是减函数?
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，其中根据已知求出a值，进而确定函数的解析式，是解答的关键．