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某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y-1条的 $数学公式$ ，第2次播放了2条以及余下的 $数学公式$ ，第3次播放了3条以及余下的 $数学公式$ ，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下的x条（x＞1）．
（1）设第k次播放后余下a_k条，这里a₀=y，a_x=0，求a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y．

解：（1）依题意，第k次播放了
k+ $\text{[math]}$ （a_k-1-k）= $\text{[math]}$ a_k-1+ $\text{[math]}$ k，
∴a_k=a_k-1-（ $\text{[math]}$ a_k-1+ $\text{[math]}$ k）．
∴a_k-1=k+ $\text{[math]}$ a_k，
即a_k与a_k-1的递推关系式为a_k-1=k+ $\text{[math]}$ a_k．
（2）∵a₀=1+ $\text{[math]}$ a₁
=1+ $\text{[math]}$ （2+ $\text{[math]}$ a₂）
=1+2× $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ ）²a₂
=1+2× $\text{[math]}$ +3×（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）³a₃
=1+2× $\text{[math]}$ +3×（ $\text{[math]}$ ）²++x×（ $\text{[math]}$ ）^x-1+（ $\text{[math]}$ ）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2× $\text{[math]}$ +3×（ $\text{[math]}$ ）²++x×（ $\text{[math]}$ ）^x-1．
用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）× $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$
故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．
分析：（1）依题意，第k次播放了k+ $\text{[math]}$ （a_k-1-k）= $\text{[math]}$ a_k-1+ $\text{[math]}$ k，由此能够推导出a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）由a₀=1+ $\text{[math]}$ a₁=1+2× $\text{[math]}$ +3×（ $\text{[math]}$ ）²++x×（ $\text{[math]}$ ）^x-1+（ $\text{[math]}$ ）^xa_x推导出y=1+2× $\text{[math]}$ +3×（ $\text{[math]}$ ）²++x×（ $\text{[math]}$ ）^x-1，用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）× $\text{[math]}$ ．由此可得到这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．
点评：本题考查数列的性质和运用，解题时要认真审题．仔细解答．

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