Question

17．已知a_n=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$，则S_n=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．

Answer 1

分析 由于a_n=$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：a_n=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}（\sqrt{n}+\sqrt{n+1}）}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴S_n=$（1-\frac{1}{\sqrt{2}}）$+$（\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}）$+…+$（\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}）$
=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．
故答案为：1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．